Ejercicios de Cinética Química

Problema 01

Utilizando la fórmula de Stirling $\ln{x!}=x \ln{x}-x$, calcular el valor del logaritmo de la probabilidad termodinámica (W), la cuál se expresa como: $$W= \frac{\left (24 \times 10^6 \right )!}{\left ( 8 \times 10^6  \right )! \left ( 16 \times 10^6  \right )!}$$

Solución:
Aplicando logaritmo natural a ambas partes obtenemos:

$$\ln{W}= \ln{\left (24 \times 10^6 \right )!}-\ln{\left (8 \times 10^6 \right )!}-\ln{\left (16 \times 10^6 \right )!}$$

Aplicando la Fórmula de Stirling obtenemos:

$$\ln{(24 \times 10^6)!}=24 \times 10^6 \ln{(24 \times 10^6)}-24 \times 10^6  =383\;845\;545,32$$

$$\ln{(16 \times 10^6)!}=16 \times 10^6 \ln{(16 \times 10^6)}-16 \times 10^6  =249\;409\;588,48$$

$$\ln{(8 \times 10^6)!}=8 \times 10^6 \ln{(24 \times 10^6)}-8 \times 10^6  =119\;159\;616,80$$

Reemplazando en el logaritmo de la Probabilidad Termodinámica:

$$\ln{W}= 15\;276\;340$$

Problema 02

Un sistema termodinámico está formado por 18000 moléculas, si se tienen 6 celdas o niveles con la misma energía $\varepsilon=4.5\times10^{-12}$ ergios. Determinar en número de moléculas en cada nivel de energía, calcular el valor de la energía interna y de la entropía. Datos $k=1.38\times10^{-16}$ erg/K, $\ln{x!}=x \ln{x}-x$.
Solución:

Asumiendo que las 18000 moléculas se van a distribuír homogéneamente en los 6 niveles de energía, calculamos el número de moléculas en cada nivel de energía:
$$n_i=\frac{18000}{6}=3000$$
Debido a que todos los niveles de energía tienen la misma energía, todas las moléculas tendrán la misma energía sin importar el nivel en el que se encuentren, teniendo en cuenta esto, calculamos la Energía Interna.

$$U=\sum_{i=1}^{6}n_i\varepsilon_i=6\times 3000\times 4.5\times10^{-12} erg = 8.1\times 10^{-8} erg$$

A continuación, planteamos la ecuación de la Probabilidad Termodinámica:

$$W= \frac{N!}{\sum_{i=1}^{6}n_i}=\frac{18000!}{(3000!)^6}$$

Aplicando logaritmo natural, obtenemos:

$$\ln{W}= \ln{18000!}-6\ln{3000!}$$

Aplicando la Fórmula de Stirling obtenemos:

$$\ln{(18000!)}=18000\times\ln{18000}-18000=158366.29$$

$$\ln{(3000!)}=3000\times\ln{3000}-3000=21024.02$$

Reemplazando en el logaritmo natural de la Probabilidad Termodinámica:

$$\ln{W}= 158366.29-6\times 21024.02=284510.44$$

Finalmente calculamos la Entropía:

$$S=k\ln{W}=1.38\times10^{-16} erg \times (284510.44) =3.93\times10^{-11} erg$$

Problema 03

La velocidad media de 4 moles de CO₂ que ocupan un volumen de 10L es $V_m =6420\;cm/s$. Calcular la temperatura del gas, la velocidad más probable, la presión y la energía cinética.

Solución:

A partir de la expresión de la Velocidad Media, despejamos la temperatura (T):

$$V_m=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \rightarrow T=\frac{V_m^2 \pi M}{8R}$$

Reemplazando:

$$T=\frac{V_m^2 \pi M}{8R}=\frac{(6420\;cm/s)^2 \times \pi \times 44\;g/mol}{8\times 8,314\times 10^7\;erg/mol\cdot K}=8.56\;K$$

Calculamos la Velocidad más Probable:

$$V_{mp}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}=\sqrt{\frac{2\times 8,314\times 10^7\;erg/mol\cdot K \times 8.56\;K}{44\;g/mol}}$$